О микро–макро иерархии

Богомолов С.В.

17.01.18, Среда, 15:00, ИПУ им. В.А.Трапезникова РАН, ауд.7

Базовый семинар: Математическое моделирование и системная биология

Тело человека, мозг, кровь, органы состоят из огромного количества микроскопических частиц. Проявления жизненных процессов являются макроскопическим результатом их взаимодействий. Наука накопила колоссальный объём знаний и на микро, и на макро уровнях. Количественный анализ этих больших данных для понимания законов функционирования сложных систем может быть проведён только на основе математического моделирования. Этот термин кратко можно выразить словами: «модель – алгоритм – программа», или колесо вычислительного эксперимента.

На примере простой и ясной, но далеко не тривиальной, модели газа из твёрдых сфер мы постараемся показать основные этапы построения математической формализации сложной физической системы. Эта методология развивается многими учёными, в частности, в биологическом и социологическом контекстах.

Мы рассматриваем набор из порядка 1025 твёрдых шаров, которые лишь только летают и сталкиваются. Математическое описание эволюции такой системы с неизбежностью приводит к необходимости использования аппарата теории случайных процессов. Для выявления математических и вычислительных особенностей исследуемой задачи важно записать её в безразмерном виде. Эта процедура приводит к появлению числа Кнудсена, физическим смыслом которого является отношение средней длины свободного пробега молекул к характерному размеру задачи. Иерархия микро – макро моделей строится в соответствии с изменением этого параметра от величин порядка единицы (микро) к величинам порядка 0,1 (мезо) и далее – к 0,01 (макро). Аккуратное движение по этому пути приводит к более точным, по сравнению с традиционными, математическим моделям, что сказывается на их большей вычислительной пригодности – природа платит за бережное к ней отношение. В частности, макроскопические уравнения получаются более мягкими для расчётов, чем классические уравнения Навье–Стокса.

Эта иерархия математических постановок порождает соответствующую цепочку вычислительных методов. Микроскопические задачи чаще всего решают с помощью методов Монте–Карло, хотя есть группы, приверженные неслучайным методам решения уравнения Больцмана. Последнее время много внимания уделяется мезо – моделям на основе стохастического моделирования броуновского движения или решения детерминистических уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова. Для решения задач сплошной среды используются различные подходы: разностные методы, методы конечных элементов, а также методы частиц. Последние, на наш взгляд, особенно перспективны для всей иерархии, объединяя разные постановки единой вычислительной идеологией.

 

Предыдущий семинар: 10.11.2016 - Всеобъемлющее понимание болезни и здоровья (докладчик: Мау Й.).